Cheatsheet TKA Matematika Tingkat Lanjut

1. Matriks

Matriks, Ordo, dan Jenis Matriks

• Ordo
  Ukuran matriks (baris
  kolom).
• Jenis Matriks
  • Persegi
    Jumlah baris = kolom.
  • Identitas (I)
    Diagonal utama 1, lainnya 0.
    
  • Nol
    Semua elemen 0.
  • Transpose (
    )
    Baris jadi kolom, kolom jadi baris.

Operasi Matriks

• Penjumlahan/Pengurangan
  Ordo harus sama. Jumlahkan/kurangkan elemen yang seletak.
  
• Perkalian Skalar (
  )
  Kalikan
  ke semua elemen.
• Perkalian Matriks (
  )
  • Syarat
    Kolom A = Baris B.
  • Hasil
    (Baris A)
    (Kolom B).
  • Sifat
    
    (Tidak komutatif)

Determinan, Adjoin, Invers Matriks

• Determinan (det(A) atau |A|)
  • Ordo 2x2
    
  • Ordo 3x3 (Metode Sarrus)
    
    
    
• Adjoin (Adj(A))
  Transpose dari matriks kofaktor.
  • Ordo 2x2
    
• Invers Matriks (
  )
  • Syarat punya Invers
    
    (Matriks Singular)
  • Sifat:

2. Suku Banyak (Polinomial)

Operasi Polinomial

• Penjumlahan/Pengurangan
  Jumlahkan/kurangkan koefisien suku yang sejenis (pangkatnya sama).
• Perkalian
  Gunakan sifat distributif (kalikan semua suku).

Pembagian Polinomial

• • = Yang dibagi
  • = Pembagi
  • = Hasil bagi
  • = Sisa
• Metode:
  1. Bagi Kurung (Porogapit)
     Mirip pembagian biasa.
  2. Skema Horner
     Hanya untuk pembagi linear
     atau
     • Jika pembagi
       , maka
       .
     • Jika pembagi
       , maka
       .

Pemfaktoran dan Suku Sisa

• Teorema Sisa
  • Sisa pembagian
    oleh
    adalah
    .
  • Sisa pembagian
    oleh
    adalah
    .
• Teorema Faktor
  
  adalah faktor dari
  jika dan hanya jika
  (sisanya 0).
• Mencari Akar
  Cari nilai
  (faktor dari konstanta) yang membuat
  .

3. Fungsi Lanjut

Domain dan Range Fungsi

• Domain (Daerah Asal)
  Nilai
  yang boleh dimasukkan.
  • Polinomial
    
  • Rasional
    
    Syarat: Penyebut
    .
  • Akar
    
    Syarat: Di dalam akar
    .
• Range (Daerah Hasil)
  Nilai
  yang dihasilkan.

Grafik Fungsi

• Polinomial
  Gunakan turunan untuk mencari titik stasioner (maks/min/belok).
• Rasional
  • Asimtot Tegak
    Saat
    (penyebut = 0).
  • Asimtot Datar
    • , jika pangkat
      pangkat
      .
    • (koefisien pangkat tertinggi), jika pangkat
      pangkat
      .
• Akar
  
  Grafik dimulai dari (0,0) dan melengkung ke kanan atas.
• Eksponen
  • Jika
    : Grafik naik monoton (Eksponensial).
  • Jika
    : Grafik turun monoton (Peluruhan).
  • Selalu memotong sumbu y di (0, 1).
• Logaritma
  • Jika
    : Grafik naik monoton.
  • Selalu memotong sumbu x di (1, 0).
• Mutlak
  
  Grafik berbentuk V di titik (0,0). Bagian negatif dari grafik dicerminkan ke atas.
• Trigonometri
  • : (Nilai maks 1, min -1, Periode
    atau
    ).
  • : (Seperti
    tapi digeser. Nilai maks 1, min -1, Periode
    atau
    ).
  • : (Punya asimtot tegak, Periode
    atau
    ).

4. Vektor

Vektor Dasar, Arah dan Panjang

• Vektor Posisi
  
  atau
• Vektor antara 2 Titik
  
• Panjang Vektor (Magnitudo)
  
• Vektor Satuan
  
  (Panjangnya 1)

Operasi Vektor

• Penjumlahan/Pengurangan
  Jumlahkan/kurangkan komponen yang seletak.
• Perkalian Skalar (Dot Product)
  Hasilnya skalar (angka).
  • Jika
    , maka
    (tegak lurus).
• Perkalian Vektor (Cross Product)
  Hasilnya vektor (hanya di R³).
  • 
    (Gunakan determinan matriks
    ).
  • Hasil
    tegak lurus terhadap
    dan
    .

5. Lingkaran

Persamaan Lingkaran

• Pusat (0, 0)
  
• Pusat (
  )
  
• Bentuk Umum
  
  • Pusat
    
  • Jari-jari
    

Persamaan Garis Singgung

• Melalui Titik (
  ) pada Lingkaran
  • Pusat (0,0)
    
  • Pusat (a,b)
    
• Gradien
  :
  • Pusat (0,0)
    
  • Pusat (a,b)
    

Luas dan Keliling Daerah

• Luas Lingkaran
  
• Keliling Lingkaran
  
• Luas Juring
  
• Panjang Busur
  

6. Transformasi Geometri

Transformasi Titik, Garis, Bangun Datar

• Translasi
  
  
  Vektor translasi:
• Refleksi
  • Sumbu X
    
    
    Matriks:
  • Sumbu Y
    
    
    Matriks:
  • Titik asal (0,0)
    
    
    Matriks:
  • Garis
    
    
    
    Matriks:
  • Garis
    
    
    
    Matriks:
  • Garis
    
    
  • Garis
    
    
• Rotasi
  • Titik asal (0,0)
    Berlawanan arah jarum jam sejauh
    :
    Matriks:
  • Titik pusat
    
    Berlawanan arah jarum jam sejauh
    :
    Matriks:
• Dilatasi
  • Titik asal (0,0)
    Dengan faktor skala
    :
    
    
    Matriks:
  • Titik pusat
    
    Dengan faktor skala
    :
    
    
    Matriks:

7. Limit Fungsi

Konsep Dasar dan Sifat Limit

• Konsep
  
  berarti "Jika
  mendekati
  , maka
  mendekati
  ".
• Limit ada jika
  (Limit kiri = Limit kanan).
• Sifat
  • , dengan
  • , dengan
    untuk
    genap

Limit Aljabar

• Metode
  1. Substitusi Langsung
     Masukkan nilai
     .
  2. Jika hasilnya
     (Bentuk Tak Tentu), gunakan:
     • Faktorisasi: Coret faktor yang sama.
     • Kali Sekawan: Jika ada bentuk akar.
  3. Jika hasilnya
     (
     ): Hasilnya
     atau
     .
  4. Jika hasilnya
     : Hasilnya 0.

Limit Trigonometri

• Bentuk Dasar (
  )

Limit Mendekati Tak Hingga (

)

• Bentuk Pecahan
  • Lihat pangkat tertinggi (
    di atas,
    di bawah).
  • Jika
    : Hasilnya 0.
  • Jika
    : Hasilnya
    (koefisien pangkat tertinggi).
  • Jika
    : Hasilnya
    atau
    .
• Bentuk
  :
  • Kalikan dengan sekawan
    .
  • Rumus Cepat
    
    • Jika
      : Hasilnya
    • Jika
      : Hasilnya
    • Jika
      : Hasilnya